面積や体積の計算は、土地や構造物の正確な把握に欠かせない作業です。
しかし、公式が使えない複雑な形状や測量データを扱う場面では、基本的な計算だけでは対応できないこともあります。
そんなときに役立つのが、プラニメーターや座標法、断面法、点高法といった各種計算手法です。
目的や現場に応じて適切な方法を選ぶことが、正確な積算につながります。
このページでは、面積・体積の計算方法について解説しています。
体積計算・面積計算の公式が使えない場合
工事の設計数量や出来高数量に関して、数量算出要領が定められている場合があり、ほとんどの公共工事では、細かく定められています。数量計算では、長さ・面積・体積等の計算を行います。数学公式は全般的に認められていますが、建設現場によって、数学公式がそのまま使えない場合も多々あり、近似計算法による算出やautocadなどのCADソフトによる算出などが必要となる場合もあります。特に、土木工事では複雑な形状を扱うことが多く、一方で細かな数量計算が求められます。
土木工事における、面積計算についてです。舗装する敷地の面積を求める場合、対象となる敷地の形が、正方形や長方形など単純な形であれば、すぐに計算ができます。しかし、実際にはきれいな敷地を扱うことは少なく、複雑な形状をしています。複雑な形状の面積を計算する際には、ヘロンの公式を用いて計算します。ヘロンの公式とは、３つの辺の長ささえ分かれば、面積が算出できます。そこで、三角形で分割するように長さを計っていきます。このようにすれば、複雑な形状であっても計算することができます。このように計算方法を考えたうえで、測量の仕方を決める必要があります。
土木工事における、体積計算についてです。盛土などの土量計算において、幅又は断面に変化がある場合は、平均断面法を使用し、計算します。擁壁、橋台等躯体の体積計算において、幅又は断面に変化がある場合は、オベリスク体積算出式を使用し、計算します。
長さの計算
長さの計算は、数学公式に基づくか、スケールアップによることができます。面積計算で法長が一定しないときは、両辺長を平均したものに断面間の距離をかけて、平均面積法により算出します。工事単価表、数量総括表、数量拾い表、設計業務、測量業務、エクセル計算式、機械単価などのアプリ、体積計算・面積計算のフリーソフトやテンプレートのリンク集です。
面積の計算は、数学公式に基づくか、3斜誘致法、プラニメーターによって算出します。構造物の計算は、構造物の計算に用いる角度は分までとします。スケールアップを用いるときは、2回以上の実測値の平均値をとります。数量計算書、体積計算、面積計算ソフト、座標面積計算システム、建築、実行予算書、数量集計など、体積計算・面積計算のフリーソフトのリンク集です。
autocadをはじめとしたCADソフトによる算出結果については、その都度結果をチェックすることで使用できるものとします。オベリスク・直方体・台形柱・三角柱・くさびの体積計算、三角形・四角形・三角錐・四角錐の計算、重心位置の計算などの体積計算・面積計算・オベリスク 体積 計算のソフトが無料でダウンロードできます。
プラニメーターを使用する場合
プラニメーターなどを使用するときは、3回以上測ったもののうち、正確と考えられるもの3回の平均値とします。数量の単位は、すべて計量法に準じ、数量計算の方法について検討します。工事単価表、数量総括表、数量拾い表、設計業務、測量業務、エクセル計算式、機械単価などのフリーソフトやテンプレートが、無料でダウンロードできます。
円周率、法長、乗率、三角関数、弧度は四捨五入して小数第3位とします。算式計算の乗除方法は、決められた順序で行ないます。数量計算書、体積計算、面積計算ソフト、座標面積計算、建築、実行予算書、数量集計などのフリーソフトが、無料でダウンロードできます。
分数は約分しないで、分子分母にその値を求めて除法を行ない、四捨五入により位止めします。体積の計算は、数学公式に基づくとともに、両断面積の平均数量に距離をかけた平均断面法により算出します。四角錐台・三角錐台・四角錐の体積計算、エクセルで面積計算・体積計算、6面体の体積計算・面積計算・重心計算、慣性モーメントの計算など、体積計算・面積計算ソフトです。まずは無料のソフトウェアやツール・システムからダウンロードしてみませんか。沢山のソフトウェアやテンプレートを無料でダウンロードして、独自の比較ランキングをしてみてもたのしいですよ。図面面積計算・座標面積計算・多角形面積計算・ヘロン面積計算・ヘロンの公式・オベリスク 体積 計算・面積測定などに対応した比較ランキング上位の人気アプリもありますよ。
測量の成果から行う面積の計算
面積というと単にその平方メートルを求めたものと思われがちですが、測量の世界ではその土地を囲む境界線内の土地を水平面上に投影した広さです。基本的に土地の面積を求める場合は測量の結果から計算することが必要です。計算の方法は色々ありますが近年では計算機やパソコンの発達から図上法座標法が多く使われています。
もし五角形の面積を求めたい場合にその全ての点の座標（A、B、C、D、E）がわかっている場合は、面積＝（台形A’ABB’）+（台形B’BCC’）+（台形C’CDD’）-（台形D’DEE’）-（台形E’EAA’）で求めることができます。かなり複雑な式となるので、できるのであればExcelにまとめて計算するのが効率的でしょう。手計算では少し効率が落ちます。
土地の面積計算は非常に初歩的な計算でもありますが土地というのは必ずしも直線と直角で構成されてはいませんので、計算がどうしても複雑になっていきます。そのような場合におすすめしたいのがインターネットで見つけることのできる無料のソフトウェアやアプリです。無料なので自分の好きなように使用することができます。また、Excelで計算式を自分で作るのが面倒という方にもインターネットでダウンロードできる無料のアプリはおすすめできます。自分で計算式をカスタマイズすれば非常に効率よく業務を行うことができます。
閉合トラバースは倍横距で面積を計算できる
閉合トラバースと呼ばれる場合には計算方法が色々あり、各側線の調整緯距及び横距または倍横距を用いてトラバース内の面積を計算する必要があります。ここでいう横距とは各側線の中央から基準線におろした垂線の長さです。倍横距はその名の通り横距の倍の数字となります。横距の2倍が倍横距なので次のように表現することができます。
第1側線の倍横距＝第1側線の経距、任意の側線の倍横距＝一つ前の側線の（倍横距+経距）+（その側線の経距）
つまり面積はS=1/2Σ{（各側線の緯距}×（その側線の倍横距））
このように閉合トラバースでも面積を計算することができますがその計算は非常に複雑なものになります。これを計算するには手で図形を描いた後に数値をまとめて計算する必要があるので非常に時間がかかります。幸いにもインターネット上で無料でダウンロードできるソフトやアプリ、Excelのテンプレートなどが存在しますのでそれらを活用していくのがベストな方法となります。自分なりに比較しておすすめ順にランキングをしておけばいざ使用する時に迷うことなく使用できます。業務効率を上げるためにも無料のソフトウェアやフリーソフトを使用することを考えていくことが必要です。
比較的狭い土地なら三角形に区分しよう
比較的狭い土地の面積であればその土地の中をいくつかの三角形に区分していき、それぞれの面積を求めて合計していけば簡単に求めることができます。しかし分割すればするほど誤差の原因となる可能性も大きくなるので、できる限り正三角形に近い形で分割するのがコツです。なお、この際は三斜法と三辺法に分類することができます。
三斜法は比較的狭い土地に有利
三斜法は底辺と高さが1：3〜3：1の範囲で用いられる方法で、比較的狭い土地の場合に適用されます。底辺と高さを知ることができればその面積はS=1/2×底辺×高さで求めることができます。
三辺法は別名ヘロンの公式から計算可能
三辺法その名の通り三角形の各三辺を求めることで計算できます。この三角形の各三辺から面積を求める公式をヘロンの公式といいます。非常に単純な式でS=1/2（辺a+辺b+辺c）で求めることができます。
このように複雑な土地の面積でも三角形に分類していけば面積を求められることがわかります。ただし細かく分類しすぎると誤差が非常に大きくなり計算結果の意味がなくなりますので注意が必要です。このような計算はインターネット上で多くのフリーウェアやExcelのテンプレートが公開されており無料でダウンロード及び使用することができます。また、Webブラウザ上でフリーで使用できるときもありますので、どんどん活用して行くべきです。自分なりの人気のソフトやおすすめのソフトをまとめておけばいざ使用する時にすぐ使用できて便利です。また、計算ツールとしてパソコンにダウンロードしておけばインターネットのないところでも使用できるのでおすすめです。
境界線が屈曲していても面積計算はできる
土地というのは基本的に直線で構成されていますが、時には境界線が屈曲していてその計算が非常に難しい場合があります。そのような場合でも面積を計算することは可能です。まず境界線に沿ってトラバースを組んで、トラバース内はトラバース内の面積だけを計算します。これはすでに説明済みの項目です。トラバースと屈曲している境界線内の面積はいろいろな方法で計算できます。
シンプソンの第1法則で屈曲部の面積を求める
トラバースの各線から曲線までの距離を等間隔に算出します。これらの値から面積を計算するのをシンプソンの第1法則と言います。この場合境界線を放物線と仮定して計算する必要があります。
等間隔に算出できない時は台形法則で計算する
屈曲している境界線までの距離を等間隔で算出できない場合は、台形法則と呼ばれる法則を使用します。これは屈曲した境界線が直線になるように分割します。屈曲している境界線の面積が第系の連続として計算する方法です。
境界線が屈曲している場合には面積の計算が非常に難しいように思えますが、基本的な計算式と計算方法だけしっかりと覚えれば問題ありません。しかし、手計算で計算するのは非常に大変なのでインターネットで無料でダウンロードできるソフトウェアなどを使用するのがおすすめです。無料でダウンロードできるのでいろいろなソフトを比較し、自分なりのランキングを作成しておけば後から使用する場合にも非常に便利です。またExcelで数値をまとめることも多いと思うので、計算式をまとめておくのも便利です。
このような測量の図形はAutoCADで図面を作成することも多いと思います。AutoCADでは自動で境界線内の面積を計算するコマンドもあるので、その方法で計算するのも一つの方法となります。この場合は座標面積計算、多角形面積計算、ヘロン面積計算、境界線が屈曲している場合のどれでも、手計算よりも遥かに正確な方法となるのでAutoCADを持っている場合にはそのような方法で計算できないか検討しましょう。もちろん図面が正確であることが第一条件となります。
土地の面積を測量して計算するフリーウェアやアプリ、Excelのテンプレートを探す場合は以下の点が使用できるか？よく調べて自分なりに比較して自分の用途にあったものを厳選して行くことが必要です。特に無料のソフトウェアやアプリは機能が制限されていたりするので、自分が使用したい用途に合致しているかはよく調べてから使用することが必要です。
・面積計算、座標図面計算、多角形面積計算、ヘロン面積計算ができるか？
・屈曲している境界線用のシンプソンの第一法則、台形法則の計算ができるか？
・Webブラウザで使用できるか？もしくはダウンロードしてオフラインで使用できるか？
・無料で使用できるか？フリーウェアとして配布しているか？
プラニメータによる面積測定
プラニメータは、図面面積計算法の1種です。面積を求める図形の外周に沿って、測図針を動かして一周したときの測輪の回転数を読み、図形の面積測定を行います。種類にはいろいろありますが、極形プラニメータが一般的で、ほとんどが最小読定値が図上5～10mm2です。プラニメータで、不規則な境界線で囲まれた図形や地形図上の面積測定方法です。
① 面積測定の大きさに応じ、極針を置く位置を定めます。
② 縮尺に応じて、測かんの長さを固定します。
③ 測図針の起点を定め、起点の位置の第1読み数を読取ります。
④ フリーハンドか定規を使い、図面上をたどって起点の位置へ戻ったときの第2読み数を読取ります。
⑤ 第2読み数と第1読み数の差に、プラニメータ定数を掛けて、面積を求めます。
面積＝(第2読み数一第1読み数)×定数(C)
座標面積計算
面積を計算する多角形図形の各点の座標が与えられている場合には、面積は座標面積計算で計算することができます。三角形の面積を座標面積計算で求めるとき、各点からX軸Y軸に垂線を引き、台形と三角形に分解して、求める三角形からそれらの図形の面積を引けば、面積計算ができます。
また、三角形の面積はヘロンの公式を使って、ヘロン面積計算できます。ヘロンの公式は、三角形の各辺の長さが分かれば、三角形の面積計算ができるという公式です。
座標面積計算は、各点の座標を(X0，Y0)，(X1，Y1)，…，(Xn，Yn)とすれば、
面積＝(１/２)×(｜ΣXn(Yn+1－Yn-1)｜)
となります。
この方法は、多角形面積計算に応用できます。多角形の各点の座標が分かっていれば、座標面積計算の方法で求められます。また、多角形を三角形に分解することで三角形の各辺の長さを測量し、三角形の面積を求め、分解した三角形の面積を足せば、多角形面積計算となります。
ヘロン面積計算
ヘロン面積計算は、ヘロンの公式を使って、面積計算を行います。三角形の3辺の長さをA，B，Cとすれば、ヘロンの公式による面積は、
S＝(1/2)×(A＋B+C)、面積＝√(S(Ｓ－Ａ)(Ｓ－Ｂ)(Ｓ－Ｃ))
と表されます。
ヘロンの公式から三角形の面積が求めたとは逆に、三角形の3辺を与えれば、三角形図が描け、これがヘロン展開図です。ヘロン展開図は、三辺の数値以外にも任意に3点を指示することでも三角形が描けます。多角形面積計算では、多角形を三角形に分解することで面積計算ができましたが、逆にヘロン展開図によって多角形が描けます。
無料のフリーソフトには、ヘロン公式を使ったヘロン面積計算だけでなく、エクセル(excel)上にヘロン展開図を描くソフトがあり、人気が高くランキングの上位にある優れたソフトやアプリ多くあります。もちろんCADソフト、AUTOCADや無料でフリーのJWCADに作図するソフトがあり、比較して使い易いソフトウェアの使用をおすすめします。有料のシステムソフトウェアには、図面面積計算・座標面積計算・多角形面積計算・ヘロン面積計算などの面積計算に対応し、ヘロン展開図も描くソフトウェアがあります。システムソフトウェアは、クラウド上からパソコンやスマホからのアクセスで、現場での管理がしやすいように作られたソフトウェアもあり、試用がおすすめです。
断面法による体積計算
鉄道・道路建設のように、細長い土地の土量や宅地造成、埋立など広い地域に渡る土量を求める必要があり、計算方法には、断面法、点高法、等高線法の方法があります。
断面法による体積計算は、鉄道や道路の路線測量で、中心ぐい間の切土量や盛土量の体積計算でよく使われます。
(1)平均断面法
平均断面法は、両端の断面積(A1，A2)を平均して、両端の断面間の距離ℓを掛けて土量Vを求める方法です。
V＝((A1＋A2)/2)×ℓ
(2)平均距離法
平均距離法は、A1からの距離ℓ1に断面を設け、その断面積Amとし、AmからA2までの距離をℓ2とします。このときの土量Vは、Amの前後の距離(ℓ1，ℓ2)を平均し、断面積Amを掛けて、土量Vを求める方法です。
V＝Am×(ℓ1＋ℓ2)/2
(3)ぎ柱公式
ぎ柱とは、両端面が平行で側面が平面形の立体です。両端の断面積を(A1，A2)、高さhの中央h/2のところの面積をAmとすると、ぎ柱の体積Vは、次の式で表されます。
V＝h/6×(A1＋4Am＋A2)
点高法による体積計算
点高法は、広い地域での宅地造成や敷地の地ならしの土量の計算で用いられる方法です。土地を長方形や正方形、または三角形に区分して、それぞれの隅点の高さを測定し、各区分の面積に隅点の高さの平均値を掛けて土積を求め、全体の土量を計算します。
(1)長方形(正方形)区分
面積Sの底面または上面を、a×bの長方形に区分すると、区分した1個の長方形の体積は、4隅部の高さをhA，hB，hC，hDとすると、
V=S/4×(hA＋hB＋hC＋hD)
となります。そうすると、全体の体積Vは、
ΣV＝S/4×(Σh1＋2Σh2+3Σh3+4Σh4)
となります。ここで、Sは、長方形1個(a×b)の面積、Σh1～Σh4は、各長方形が接する隅角部の高さの和で、例えば、Σh1は、長方形が共有する頂点の高さh1の総和です。
(2)三角形区分
面積Sの底面または上面を直角三角形に区分すると、区分した1個の三角形の体積は次のようになります。
V＝S/3×((hA＋hB＋hC)
となるため、全体の体積ΣVは、
ΣV＝S/3×(Σh1＋2Σh2+3Σh3+…＋6Σh6)
ここで、Sはｍ三角形1個の面積で、Ｓ＝(a×b)/2 です。また、Σh1…Σh6は、各個の三角形が接する隅角部の高さの和です。
オベリスクの体積計算
オベリスクとは、四角錐台のことです。錐台とは、錐体の頂点から下の部分を切断し、錐体面と上下2枚の平行な断面(平面)で囲まれた立体です。下面をa×b、上面をc×d、高さをhとした錐台としたときの、オベリスクの体積計算Vは、
V＝h/6×(2a×b＋a×d＋b×c＋2c×d))
となります。もし、c＝d＝0とすると、オベリスクの体積計算は錐体の体積となり、
V＝h/3×a×b
となります。
体積計算を行う無料のフリーソフトやアプリには、多くのものがあり、人気が高くランキング上位にあるものがいくつもあります。どのフリーソフトも、体積の基本図形、直六面体・直円筒・直円錐・多角スイ・オベリスク・くさび型・プリズモイド・球・半球などが計算できます。これらの計算をエクセル(excel)のアドインとしたソフトやアプリも多く、形状に対するツールやテンプレートが用意され、何度も同じ計算を必要とするときには便利です。どのフリーのソフトも、体積計算の手法が異なるものもあり、使う手法よって計算速度の違いや使い勝手が違います。そのため、いくつかのフリーのソフトウェアをダウンロードして、比較すると自分にとって使い易いソフトが見つかりますので、機能の比較がおすすめです。